【高校数学I】数と式を完全攻略～基本から応用までを徹底解説します！～実数-問題57

問題

次の式を計算せよ.

解説

• (1) $\dfrac{3\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}
  +\dfrac{3\sqrt{5}+4\sqrt{3}}{3\sqrt{5}-4\sqrt{3}}$
  • それぞれ有理化して,
    $\dfrac{(3\sqrt{5}-5\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}
    +\dfrac{(3\sqrt{5}+4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3})}{45-48}$
    $=\dfrac{(15-3\sqrt{15}-5\sqrt{15}+15)}{2}
    +\dfrac{(45+24\sqrt{15}+48)}{-3}$
    $=\dfrac{30-8\sqrt{15}}{2}
    -\dfrac{(45+48+24\sqrt{15})}{3}$
    $=15-4\sqrt{15}-31-8\sqrt{15}$
    $=$$-16-12\sqrt{15}$
• (2) $\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}
  +\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}
  +\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$
  • それぞれ有理化して,
    $\dfrac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}+\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{3-2}+\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})}{4-3}$
    $=3-2\sqrt{2}+5-2\sqrt{6}+2\sqrt{3}+3+2\sqrt{2}+\sqrt{6}$
    $=$$11+2\sqrt{3}-\sqrt{6}$